यदि A और G समांतर और गुणोत्तर माध्य हैं और {x | vedclass

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Question

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: ${x^2} - 2Ax + {G^2} = 0$  $(i)$मान लीजिए $a$ और $b$ दो धनात्मक संख्याएँ हैं जिनका समांतर माध्य $A$ और गुणोत्तर माध्य $G$

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$A > G$

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(B) दिया गया द्विघात समीकरण: ${x^2} - 2Ax + {G^2} = 0$  $(i)$मान लीजिए $a$ और $b$ दो धनात्मक संख्याएँ हैं जिनका समांतर माध्य $A$ और गुणोत्तर माध्य $G$ है।अतः,$A = \frac{a + b}{2}$ और $G^2 = ab$.इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर: ${x^2} - (a + b)x + ab = 0$.द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: ${x^2} - ax - bx + ab = 0$ $\Rightarrow x(x - a) - b(x - a) = 0$ $\Rightarrow (x - a)(x - b) = 0$.इस प्रकार,समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।वास्तविक मूल $a$ और $b$ के अस्तित्व के लिए,विविक्तकर $D$ का मान शून्य या धनात्मक होना चाहिए: $D = (-2A)^2 - 4(1)(G^2) \ge 0$.$4A^2 - 4G^2 \ge 0 \Rightarrow A^2 \ge G^2$.चूंकि $A$ और $G$ धनात्मक संख्याओं के माध्य हैं,$A, G > 0$,इसलिए $A \ge G$.विशेष रूप से,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{1}{2}(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$.अतः,$A \ge G$.

यदि $A$ और $G$ समांतर और गुणोत्तर माध्य हैं और ${x^2} - 2Ax + {G^2} = 0$ है,तो

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