જો $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]=3$ હોય,તો $2 \bar{a}+\bar{b}, 2 \bar{b}+\bar{c}, 2 \bar{c}+\bar{a}$ ને ધાર તરીકે ધરાવતા સમાંતરબાજુ ષટ્ફલકનું ઘનફળ કેટલું થાય ($\text{ઘન એકમ}$ માં)?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}-\alpha \hat{j}+\beta \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+\beta \hat{j}-\alpha \hat{k}$ અને $\vec{c}=-\alpha \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે. જો $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ હોય,તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ ની કિંમત $.....$ છે.

ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ શોધો,જેના શિરોબિંદુઓ સદિશો $-i + j + k$,$i - j + k$ અને $i + j - k$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે,જ્યાં ચોથું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ છે.

$|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,જો

ધારો કે એક સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ $1 \text{ cu. unit}$ છે,જેની ધાર $\overrightarrow{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\overrightarrow{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે. જો $\theta$ એ ધાર $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{w}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?

જેના શિરોબિંદુઓ $4 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k}$, $-\hat{j}+\hat{k}$, $3 \hat{i}+9 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $-2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ હોય તેવા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ (ઘન એકમોમાં) શોધો.