જો $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 4$ એ $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો.

ઉપવલય $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ નું કેન્દ્ર શોધો.

$P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $A_1, A_2, A_3$ એ ઉપવલય $x^2+4y^2-4=0$, તેના નિયામક વર્તુળ અને તેના સહાયક વર્તુળના ક્ષેત્રફળો હોય, તો $A_2+A_3-A_1=$ ($\pi$ માં)

ધારો કે એક રેખા $L$ એ રેખાઓ $bx + 10y - 8 = 0$ અને $2x - 3y = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જ્યાં $b \in R - \{\frac{4}{3}\}$. જો રેખા $L$ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પણ પસાર થાય છે અને વર્તુળ $17(x^2 + y^2) = 16$ ને સ્પર્શે છે,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો $\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$ હોય,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ ને જોડતી જીવા કયા બિંદુએ કાટખૂણો આંતરે છે?