यदि alpha, beta समीकरण x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$. $x=1$ समीकरण का एक मूल है। $(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $(x-1)(x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1)=0$ प्राप्त

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$-1, \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$. $x=1$ समीकरण का एक मूल है। $(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $(x-1)(x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1)=0$ प्राप्त होता है। $x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1=0$ के लिए,$x^2$ से भाग देने पर: $x^2-4 x+5-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0 $ $\Rightarrow (x^2+\frac{1}{x^2})-4(x+\frac{1}{x})+5=0 $ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2-4(x+\frac{1}{x})+5=0 $ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-4(x+\frac{1}{x})+3=0$. माना $y = x+\frac{1}{x}$,तब $y^2-4y+3=0 $ $\Rightarrow (y-1)(y-3)=0 $ $\Rightarrow y=1, 3$. स्थिति $1$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$ (मूल सम्मिश्र हैं)। स्थिति $2$: $x+\frac{1}{x}=3 \Rightarrow x^2-3x+1=0$ (मूल अपरिमेय हैं)। अतः,$\alpha+\beta=3$ और $\alpha \beta=1$. $(\alpha+\beta) x^2+2 \alpha \beta x-\alpha \beta=0$ में मान रखने पर: $3x^2+2x-1=0 $ $\Rightarrow (3x-1)(x+1)=0 $ $\Rightarrow x=-1, \frac{1}{3}$.

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$ के अपरिमेय मूल हैं,तो समीकरण $(\alpha+\beta) x^2+2 \alpha \beta x-\alpha \beta=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

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