यदि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ ऐसे कोण हैं जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं, तो $xyz$ का मान ज्ञात कीजिए।
$1.$ $\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$
$2.$ $x = \cos \alpha + i \sin \alpha$
$3.$ $y = \cos \beta + i \sin \beta$
$4.$ $z = \cos \gamma + i \sin \gamma$

सम्मिश्र संख्या $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$ को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए।

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,

यदि $z = x + iy$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $z\bar{z}^3 + \bar{z}z^3 = 350$ और $x, y$ पूर्णांक हैं,तो $|z| = $

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\alpha, \beta)$ का समुच्चय है जहाँ $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$,जिनके लिए सम्मिश्र संख्या $\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ शुद्ध काल्पनिक है और $\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ शुद्ध वास्तविक है। मान लीजिए $Z_{\alpha \beta} = \sin 2\alpha + i \cos 2\beta$ जहाँ $(\alpha, \beta) \in S$ है। तब $\sum_{(\alpha, \beta) \in S} \left(i Z_{\alpha \beta} + \frac{1}{i \bar{Z}_{\alpha \beta}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z = x + iy$,${z^{1/3}} = a - ib$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = k({a^2} - {b^2})$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।