यदि x_1, x_2, x_3 तथा y_1, y_2, y_3 समान सार् | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $x_1, x_2, x_3$ और $y_1, y_2, y_3$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं। माना $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2

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संरेख

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $x_1, x_2, x_3$ और $y_1, y_2, y_3$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं। माना $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2$ और $y_1 = b, y_2 = br, y_3 = br^2$ है। बिंदु $A(a, b), B(ar, br), C(ar^2, br^2)$ हैं। यह जांचने के लिए कि क्या वे संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: $	ext{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ $= \frac{1}{2} |a(br - br^2) + ar(br^2 - b) + ar^2(b - br)|$ $= \frac{1}{2} |abr(1 - r) + abr(r^2 - 1) + abr^2(1 - r)|$ $= \frac{1}{2} |abr - abr^2 + abr^3 - abr + abr^2 - abr^3| = 0$. चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।

यदि $x_1, x_2, x_3$ तथा $y_1, y_2, y_3$ समान सार्व अनुपात के साथ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,तो बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हैं

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