यदि operatorname{Tan}^{-1}left[frac{1}{1+1(2) | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.श्रेणी के प्रत्य

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$\frac{n}{n+2}$

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(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} ight)$.श्रेणी के प्रत्येक पद को $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)} ight) = \operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:$S = \sum_{k=1}^{n} (\operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k))$$S = (\operatorname{Tan}^{-1} 2 - \operatorname{Tan}^{-1} 1) + (\operatorname{Tan}^{-1} 3 - \operatorname{Tan}^{-1} 2) + \cdots + (\operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1} n)$यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:$S = \operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(1)$सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} ight)$ का उपयोग करने पर:$S = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} ight) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{1+n+1} ight) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{n+2} ight)$.इसकी तुलना $\operatorname{Tan}^{-1} 	heta$ से करने पर,हमें $	heta = \frac{n}{n+2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+1(2)}\right]+\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+(2)(3)}\right]+\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+(3)(4)}\right]+\cdots+\operatorname{Tan}^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right]=\operatorname{Tan}^{-1} \theta$ है,तो $\theta=$

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