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Question

(C) दिए गए कौशी फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ के लिए,हल $f(x) = cx$ के रूप में होता है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है। चूँकि $f(1) = 7$ है,हमारे पास $c(1

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$63$

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(C) दिए गए कौशी फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ के लिए,हल $f(x) = cx$ के रूप में होता है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है। चूँकि $f(1) = 7$ है,हमारे पास $c(1) = 7$ है,जिसका अर्थ है कि $c = 7$ है। अतः,$f(x) = 7x$ है। अब,हमें योग $\sum_{r=1}^n f(r) = 14112$ दिया गया है। $f(r) = 7r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=1}^n 7r = 14112$ प्राप्त होता है। स्थिरांक $7$ को बाहर निकालने पर,$7 \sum_{r=1}^n r = 14112$ प्राप्त होता है। योग सूत्र $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$7 	imes \frac{n(n+1)}{2} = 14112$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को $7$ से विभाजित करने पर,$\frac{n(n+1)}{2} = 2016$ प्राप्त होता है। $2$ से गुणा करने पर,$n(n+1) = 4032$ प्राप्त होता है। चूँकि $63 	imes 64 = 4032$ है,इसलिए $n(n+1) = 63 	imes 64$ है। अतः,$n = 63$ है।

यदि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि सभी $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x+y) = f(x) + f(y)$ है,$f(1) = 7$ और $\sum_{r=1}^n f(r) = 14112$ है,तो $n = $

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