यदि f(x) = begin{cases} x^{alpha} sin left( f | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} ight) ; & x 
eq 0 \ 0 ; & x = 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\

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$f(x)$ यदि $\alpha > 1$ है तो सतत और अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} ight) ; & x 
eq 0 \ 0 ; & x = 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x ightarrow 0} f(x) = f(0) = 0$. $\lim_{x ightarrow 0} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} ight) = 0$ केवल तभी संभव है यदि $\alpha > 0$ हो। अतः,$f(x)$,$\alpha > 0$ के लिए सतत है। $x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,$f^{\prime}(0) = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h ightarrow 0} \frac{h^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{h} ight) - 0}{h} = \lim_{h ightarrow 0} h^{\alpha - 1} \sin \left( \frac{1}{h} ight)$. यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि $\alpha - 1 > 0$,अर्थात $\alpha > 1$ हो। इसलिए,$f(x)$,$\alpha > 1$ के लिए सतत और अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$; तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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