यदि x=a एक बहुपद समीकरण f(x)=0 का दो बहुलता ( | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $x=a$ एक बहुपद समीकरण $f(x)=0$ का दो बहुलता वाला मूल है। इसका अर्थ है कि $f(x)$ को $f(x)=(x-a)^2 g(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है,ज

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$f(a)=f^{\prime}(a)=0 ; f^{\prime \prime}(a) 
eq 0$

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(D) दिया गया है कि $x=a$ एक बहुपद समीकरण $f(x)=0$ का दो बहुलता वाला मूल है। इसका अर्थ है कि $f(x)$ को $f(x)=(x-a)^2 g(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $g(a) 
eq 0$ है। सबसे पहले,हम प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं: $f^{\prime}(x) = 2(x-a)g(x) + (x-a)^2 g^{\prime}(x)$. $x=a$ पर मान रखने पर,हमें $f^{\prime}(a) = 2(a-a)g(a) + (a-a)^2 g^{\prime}(a) = 0$ प्राप्त होता है। इसके बाद,हम द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करते हैं: $f^{\prime \prime}(x) = 2g(x) + 2(x-a)g^{\prime}(x) + 2(x-a)g^{\prime}(x) + (x-a)^2 g^{\prime \prime}(x) = 2g(x) + 4(x-a)g^{\prime}(x) + (x-a)^2 g^{\prime \prime}(x)$. $x=a$ पर मान रखने पर,हमें $f^{\prime \prime}(a) = 2g(a) + 4(a-a)g^{\prime}(a) + (a-a)^2 g^{\prime \prime}(a) = 2g(a)$ प्राप्त होता है। चूँकि $g(a) 
eq 0$,इसलिए $f^{\prime \prime}(a) 
eq 0$ होता है। अतः,$f(a)=0$,$f^{\prime}(a)=0$,और $f^{\prime \prime}(a) 
eq 0$ है।

यदि $x=a$ एक बहुपद समीकरण $f(x)=0$ का दो बहुलता (multiplicity two) वाला मूल है,तो

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$\begin{aligned} & y=\sin \left(\log \left(x^2+2 x+1\right)\right) \\ & \Rightarrow(x+1)^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+(x+1) \frac{d y}{d x}= \end{aligned}$

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यदि $ y = (\tan^{-1} x)^2 $ है,तो $ (x^2 + 1)^2 y_2 + 2x(x^2 + 1) y_1 $ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $y^2 = ax^2 + bx + c$,जहाँ $a, b, c$ स्थिरांक हैं,तो $y^3 \frac{d^2 y}{dx^2}$ किसके बराबर है?

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