यदि int frac{1}{1 + sin x} dx = tan(f(x)) + c | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $\int \frac{1}{1 + \sin x} dx$ दिया गया है। अंश और हर को $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर:$\int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \in

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$\frac{1}{2}$

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(C) हमें समाकलन $\int \frac{1}{1 + \sin x} dx$ दिया गया है। अंश और हर को $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर:$\int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x - \sec x 	an x) dx = 	an x - \sec x + c$. वैकल्पिक रूप से,अर्ध-कोण सर्वसमिका $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर:$\int \frac{1}{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx$. इसका समाकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2} \cdot \frac{	an(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{-\frac{1}{2}} + c = -	an(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + c = 	an(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + c$ प्राप्त होता है। इसे $	an(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है। अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$. इसलिए,$f'(0) = \frac{1}{2}$.

यदि $\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \tan(f(x)) + c$ है,तो $f'(0) =$

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