यदि $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ है,तो $\alpha$ का वह मान जिसके लिए $[0, 1]$ में रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है,है

निम्नलिखित में से किस फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

फलन $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ और अंतरालों $I_1=[-1,0]$, $I_2=[0,1]$, $I_3=[1,2]$, $I_4=[-2,-1]$ पर विचार करें। तो,

एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें,जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ और मान लीजिए $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
कथन $1:$ द्विघात समीकरण का अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
कथन $2:$ अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है।

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $[1, 2]$ पर सतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है,जो $f(1) = 2, f(2) = 3$ और $f'(x) \geq 1$ (सभी $x \in (1, 2)$ के लिए) को संतुष्ट करता है। यदि $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (सभी $x \in [1, 2]$ के लिए) है,तो $[1, 2]$ पर $g(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किस अंतराल में फलन $f(x) = x^2 - 4$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?