यदि x dy + (y + y^2 x) dx = 0 और x = 1 पर y = | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ है। $x dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ प्राप्त होता है। यह एक बर्

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$y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ है। $x dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ प्राप्त होता है। यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। $y^2$ से भाग देने पर: $y^{-2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-1} = -1$। माना $v = y^{-1}$,तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,अतः $- \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = -1$,जो सरल होकर $\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = 1$ हो जाता है। यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ है। हल $v \cdot \frac{1}{x} = \int 1 \cdot \frac{1}{x} dx = \log x + C$ है। $v = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{xy} = \log x + C$ प्राप्त होता है। चूँकि $x = 1$ पर $y = 1$ है,तो $\frac{1}{1 \cdot 1} = \log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$। अतः,$\frac{1}{xy} = \log x + 1$,जिससे $y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$ प्राप्त होता है।

यदि $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ और $x = 1$ पर $y = 1$ है,तो

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