જો $A(-2, 1)$,$B(0, -2)$,અને $C(1, 2)$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ હોય,તો તેના પરિકેન્દ્રથી બાજુ $BC$ નું લંબ અંતર શોધો.

વર્તુળનું સમીકરણ શોધો જેની ત્રિજ્યા $5$ છે અને જે વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ ને બિંદુ $(5, 5)$ આગળ બહારથી સ્પર્શે છે.

જો $4 \, \text{units}$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળની બે સમાંતર જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલી હોય અને કેન્દ્ર આગળ અનુક્રમે $\cos^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ અને $\sec^{-1}(7)$ ખૂણા આંતરતી હોય,તો આ જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જે વર્તુળના અભિલંબ $x^2 + 2xy + 3x + 6y = 0$ રેખાઓ હોય અને જે વર્તુળ $x(x - 4) + y(y - 3) = 0$ ને સમાવવા માટે પૂરતું હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

$12$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે. બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(8, 9)$ અને ત્રિજ્યા $7$ છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $B$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0$ નું કેન્દ્ર છે. ધારો કે વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $A(3,1)$ માં છેદે છે. તો $8 \left(\frac{\text{Area } \triangle APQ}{\text{Area } \triangle BPQ}\right)$ ની કિંમત શોધો.