यदि x+2y+k=0, k0 दीर्घवृत्त 2x^2+y^2=2 की एक | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $2x^2+y^2=2$,जिसे $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a^2=1$ और $b^2=2$ है। स्पर्शरेखा का समीकरण $x+2y+k

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$\sqrt{2}x-2y+1=0$

Vedclass · Answer

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $2x^2+y^2=2$,जिसे $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a^2=1$ और $b^2=2$ है। स्पर्शरेखा का समीकरण $x+2y+k=0$ है,जिसका अर्थ है $y=-\frac{1}{2}x-\frac{k}{2}$। इसे $y=mx+c$ से तुलना करने पर,$m=-\frac{1}{2}$ और $c=-\frac{k}{2}$ प्राप्त होता है। रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2=a^2m^2+b^2$ है। मान रखने पर: $(-\frac{k}{2})^2 = (1)(-\frac{1}{2})^2 + 2$। $\frac{k^2}{4} = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$। $k^2=9$,इसलिए $k=\pm 3$। चूँकि $k>0$,इसलिए $k=3$ है। स्पर्श बिंदु $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{3}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)$ है। दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1}-\frac{b^2y}{y_1}=a^2-b^2$ होता है। $a^2=1, b^2=2, x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}, y_1=1$ रखने पर: $\frac{1 \cdot x}{1/\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot y}{1} = 1-2$। $\sqrt{2}x - 2y = -1$,जो सरल होकर $\sqrt{2}x-2y+1=0$ प्राप्त होता है।

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