જો $a = 3i - 2j + 2k$,$b = 6i + 4j - 2k$ અને $c = 3i - 2j - 4k$ હોય,તો $a \cdot (b \times c)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i}$, અને $\vec{c} = c_1 \hat{i} + c_2 \hat{j} + c_3 \hat{k}$ જ્યાં $c_1 = 1$ અને $c_2 = 2$ હોય, તો $c_3$ ની કિંમત શોધો જેથી $\vec{a}$, $\vec{b}$, અને $\vec{c}$ સમતલીય (coplanar) હોય.

જો $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ અને $\vec{c} \times \vec{a}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $9 \text{ ઘન એકમ}$ હોય, તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$ અને $(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ કેટલું થાય ($\text{ ઘન એકમ}$ માં)?

ધારો કે એક સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ $1 \text{ cu. unit}$ છે,જેની ધાર $\overrightarrow{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\overrightarrow{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે. જો $\theta$ એ ધાર $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{w}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?

જો $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ હોય,તો $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,અને $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.