यदि int e^{2x} f^{prime}(x) dx = g(x) है, तो | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है कि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.माना $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.इसे दो समाकलों में विभाजित किया

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$\frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$

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(B) हमें दिया गया है कि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.माना $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.इसे दो समाकलों में विभाजित किया जा सकता है: $I = \int e^{2x} f(x) dx + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.प्रथम समाकल $\int e^{2x} f(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर ($f(x)$ को प्रथम फलन और $e^{2x}$ को द्वितीय फलन लेने पर):$\int e^{2x} f(x) dx = f(x) \int e^{2x} dx - \int (f^{\prime}(x) \int e^{2x} dx) dx = \frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$I = [\frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx] + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.चूंकि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$, इसलिए:$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} g(x) + C = \frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$.

यदि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$ है, तो $\int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx =$

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$\int {{e^x} \left[ \frac{1 + x \log x}{x} \right] \, dx} = $

$\int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

$\int e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx = $

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{x}}(1+2 x) d x=$

$\int e^{\cos ^{-1} x} \left[ \frac{x-\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}} \right] dx =$

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