यदि int frac{x+5}{x^2+4x+5} dx = a log(x^2+4x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x+5}{x^2+4x+5} dx$ है। अंश को $x+5 = \lambda(2x+4) + \mu$ के रूप में व्यक्त करें। दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदो

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$(\frac{1}{2}, 3, 2)$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x+5}{x^2+4x+5} dx$ है। अंश को $x+5 = \lambda(2x+4) + \mu$ के रूप में व्यक्त करें। दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = 2\lambda \implies \lambda = \frac{1}{2}$ $5 = 4\lambda + \mu \implies 5 = 4(\frac{1}{2}) + \mu \implies 5 = 2 + \mu \implies \mu = 3$। अतः, $I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+4) + 3}{x^2+4x+5} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx + 3 \int \frac{1}{(x+2)^2 + 1^2} dx$। सूत्र $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)|$ और $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2} \log(x^2+4x+5) + 3 	an^{-1}(x+2) + C$। दिए गए रूप $a \log(x^2+4x+5) + b 	an^{-1}(x+k) + C$ के साथ तुलना करने पर, हमें $a = \frac{1}{2}$, $b = 3$, और $k = 2$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{x+5}{x^2+4x+5} dx = a \log(x^2+4x+5) + b \tan^{-1}(x+k) + C$ है, तो $(a, b, k)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int \sqrt{1 + \sin x} \, dx = -4 \cos(ax + b) + c$ है, तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः हैं:

$\int \sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} \, dx = $

$\int \sqrt{1+x^{2}} \, dx$ का मान क्या है?

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