यदि a, b, c भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं और P, | vedclass

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Question

(C) बिंदुओं $P, Q, R$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:$\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$$\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$$\vec{r}

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$\frac{\pi}{3}$

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(C) बिंदुओं $P, Q, R$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:$\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$$\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$$\vec{r} = c \hat{i} + a \hat{j} + b \hat{k}$हमें $\angle QPR$ ज्ञात करना है, जो सदिशों $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के बीच का कोण है।$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (b-a) \hat{i} + (c-b) \hat{j} + (a-c) \hat{k}$$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (c-a) \hat{i} + (a-b) \hat{j} + (b-c) \hat{k}$अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (b-a)(c-a) + (c-b)(a-b) + (a-c)(b-c)$$= (bc - ab - ac + a^2) + (ac - bc - ab + b^2) + (ab - ac - bc + c^2)$$= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$इनके परिमाण (magnitudes) इस प्रकार हैं:$|\vec{PQ}|^2 = (b-a)^2 + (c-b)^2 + (a-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$|\vec{PR}|^2 = (c-a)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$अतः, $\cos 	heta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}| |\vec{PR}|} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)} = \frac{1}{2}$इसलिए, $	heta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

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