मान लीजिए lambda in mathbb{Z},vec{a} = lambda | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) 	imes \vec{c} = \vec{0}$ है।चूंकि $\vec{c} 	imes \vec{c} = \vec{0}$,यह समीकरण $(\vec{a} + \vec{b})

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(B) दिया गया है कि $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) 	imes \vec{c} = \vec{0}$ है।चूंकि $\vec{c} 	imes \vec{c} = \vec{0}$,यह समीकरण $(\vec{a} + \vec{b}) 	imes \vec{c} = \vec{0}$ में सरल हो जाता है।इसका अर्थ है कि $\vec{c}$,$(\vec{a} + \vec{b})$ के समांतर है। मान लीजिए $\vec{c} = \alpha(\vec{a} + \vec{b})$ किसी अदिश $\alpha$ के लिए।$\vec{a} + \vec{b} = (\lambda + 3)\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।अतः,$\vec{c} = \alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}$ है।दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -20 \Rightarrow (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -20$ है।$3\alpha(\lambda + 3) + 2\alpha = -20 \Rightarrow \alpha(3\lambda + 11) = -20$ है।दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = -17 \Rightarrow (\lambda\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -17$ है।$\alpha\lambda(\lambda + 3) - \alpha = -17 \Rightarrow \alpha(\lambda^2 + 3\lambda - 1) = -17$ है।दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{3\lambda + 11}{\lambda^2 + 3\lambda - 1} = \frac{20}{17}$ प्राप्त होता है।$17(3\lambda + 11) = 20(\lambda^2 + 3\lambda - 1) \Rightarrow 51\lambda + 187 = 20\lambda^2 + 60\lambda - 20$ है।$20\lambda^2 + 9\lambda - 207 = 0$ है। $\lambda \in \mathbb{Z}$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 3$ प्राप्त होता है।$\lambda = 3$ को $\alpha(3(3) + 11) = -20$ में रखने पर,$20\alpha = -20 \Rightarrow \alpha = -1$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$\vec{c} = -1(6\hat{i} + \hat{k}) = -6\hat{i} - \hat{k}$ है।हमें $|\vec{c} 	imes (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|^2$ का मान ज्ञात करना है।मान लीजिए $\vec{v} = \vec{c} 	imes (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-6\hat{i} - \hat{k}) 	imes (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -6 & 0 & -1 \ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ है।$|\vec{v}|^2 = 1^2 + 3^2 + (-6)^2 = 1 + 9 + 36 = 46$ है।

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