यदि a, x वास्तविक संख्याएँ हैं और |a|

Question

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ है।गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, $1+a+a^2+\dots+a^{n-1}

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$\frac{1}{(1-x)(1-ax)}$

Vedclass · Answer

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ है।गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, $1+a+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{1-a^n}{1-a}$।अतः, $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a^n}{1-a} x^{n-1} = \frac{1}{1-a} \sum_{n=1}^{\infty} (x^{n-1} - a^n x^{n-1})$।$S = \frac{1}{1-a} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} - a \sum_{n=1}^{\infty} (ax)^{n-1} \right)$।अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ का उपयोग करते हुए:$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{a}{1-ax} \right)$।$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{(1-ax) - a(1-x)}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-ax-a+ax}{(1-x)(1-ax)} \right)$।$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-a}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{(1-x)(1-ax)}$।

यदि $a, x$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $|a| < 1, |x| < 1$, तो $1 + (1+a)x + (1+a+a^2)x^2 + \dots \infty$ का मान क्या होगा?

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