જો $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ હોય, તો $\Delta(x)$ માં $x$ નો સહગુણક શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 2x & \sin 2x & -\sin x \\ \sin 2x & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ હોય,તો $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f'(x) \,dx$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) કેટલો છે?

જો $f'(x) = \left| \begin{array}{ccc} mx & mx - p & mx + p \\ n & n + p & n - p \\ mx + 2n & mx + 2n + p & mx + 2n - p \end{array} \right|$ હોય,તો $y = f(x)$ શું દર્શાવે છે?

શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.

અમુક $a, b$ માટે,ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|, \quad x \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lambda + \mu a + \nu b$ હોય,તો $(\lambda + \mu + \nu)^2$ ની કિંમત શોધો: