જો $z = x - iy$ અને $z^{1/3} = p + iq$ હોય,તો $\left( \frac{x}{p} + \frac{y}{q} \right) / (p^2 + q^2)$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણ $x^{2}+bx+45=0$ $(b \in R)$ ના બીજ સંકર સંખ્યાઓ હોય અને તેઓ $|z+1|=2\sqrt{10}$ નું સમાધાન કરે,તો

જો ${e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta $ હોય,તો $\Delta ABC$ માં ${e^{iA}} \cdot {e^{iB}} \cdot {e^{iC}}$ નું મૂલ્ય શું થાય?

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $I$: કોઈપણ બે શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$ માટે,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
વિધાન $II$: જો $x, y, z$ ત્રણ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય અને $a, b, c$ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય જેથી $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,તો
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
ઉપરોક્ત બે વિધાનો વચ્ચે,

જો $a = \cos (2\pi /7) + i\sin (2\pi /7)$ હોય,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધો જેના બીજ $\alpha = a + a^2 + a^4$ અને $\beta = a^3 + a^5 + a^6$ છે.

જો $z = x + iy$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $z\bar{z}^3 + \bar{z}z^3 = 350$ અને $x, y$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય,તો $|z| = $