જો y(t) એ (1 + t)frac{dy}{dt} - ty = 1 અને y( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ છે. $(1 + t)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ મળે છે. આ $\fr

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ છે. $(1 + t)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dt} - \frac{t}{1 + t}y = \frac{1}{1 + t}$ મળે છે. આ $\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(t) = -\frac{t}{1 + t}$ અને $Q(t) = \frac{1}{1 + t}$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(t) dt} = e^{\int -\frac{t}{1 + t} dt} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1 + t}) dt} = e^{-t + \ln(1 + t)} = (1 + t)e^{-t}$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(t) \cdot (I.F.) dt + C$ છે. $y(1 + t)e^{-t} = \int \frac{1}{1 + t} \cdot (1 + t)e^{-t} dt + C = \int e^{-t} dt + C = -e^{-t} + C$. $y(0) = -1$ આપેલ હોવાથી,$t = 0$ મૂકતા: $-1(1 + 0)e^{0} = -e^{0} + C \Rightarrow -1 = -1 + C \Rightarrow C = 0$. તેથી,$y(1 + t)e^{-t} = -e^{-t}$,જેનું સાદું રૂપ $y = -\frac{1}{1 + t}$ થાય છે. $t = 1$ માટે,$y(1) = -\frac{1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$.

જો $y(t)$ એ $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ અને $y(0) = -1$ નો ઉકેલ હોય,તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(1) = 0$ હોય,તો $x(e)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module