यदि x समीकरण left( int_{0}^{1} frac{dt}{t^2 + | vedclass

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Question

(D) माना $I_1 = \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt$. चूंकि $f(t) = \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1}$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-3, 3]$ $0$ के सा

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$\pm 2 \sqrt{\frac{\sin \alpha}{\alpha}}$

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(D) माना $I_1 = \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt$. चूंकि $f(t) = \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1}$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-3, 3]$ $0$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $I_1 = 0$.माना $I_2 = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1}$. हर को $(t + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$I_2 = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha} = \left[ \frac{1}{\sin \alpha} 	an^{-1} \left( \frac{t + \cos \alpha}{\sin \alpha} ight) ight]_0^1$.$I_2 = \frac{1}{\sin \alpha} \left( 	an^{-1} \left( \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} ight) - 	an^{-1} \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ight) ight)$.अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot(\alpha/2) = 	an(\pi/2 - \alpha/2)$ और $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha = 	an(\pi/2 - \alpha)$.अतः,$I_2 = \frac{1}{\sin \alpha} (\pi/2 - \alpha/2 - (\pi/2 - \alpha)) = \frac{\alpha}{2 \sin \alpha}$.समीकरण $\left( \frac{\alpha}{2 \sin \alpha} ight) x^2 - 2 = 0$ हो जाता है।$x^2 = \frac{4 \sin \alpha}{\alpha} \Rightarrow x = \pm 2 \sqrt{\frac{\sin \alpha}{\alpha}}$.

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यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।

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यदि $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ और $K, L \in N$ है,तो संभावित क्रमित युग्मों $(K, L)$ की संख्या क्या है?

यदि $m \in Z^{+}$,$n=2m$ और $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ है,तो $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

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