यदि रेखा $ax + by = 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ को स्पर्श करती है और वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0$ का अभिलंब है,तो $(a, b)$ का मान क्या होगा?

वृत्तों के एक युग्म $(|x| - 1)^2 + y^2 = 1$ पर विचार करें। राम $(1, 0)$ केंद्र वाले वृत्त पर $2 \ m/s$ की दर से घड़ी की दिशा में चल रहा है,और श्याम $(-1, 0)$ केंद्र वाले वृत्त पर $1 \ m/s$ की दर से घड़ी की विपरीत दिशा में चल रहा है। यदि राम और श्याम अपनी यात्रा मूल बिंदु $(0, 0)$ से शुरू करते हैं,तो उस क्षण पर जब राम पहली बार $x$-अक्ष को पार करता है,राम और श्याम के बीच की दूरी के परिवर्तन की दर है:

माना $A=\{(x, y) \in R \times R \mid 2 x^{2}+2 y^{2}-2 x-2 y=1\}$,$B=\{(x, y) \in R \times R \mid 4 x^{2}+4 y^{2}-16 y+7=0\}$ और $C=\{(x, y) \in R \times R \mid x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5 \leq r^{2}\}$ है। तो $|r|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए ताकि $A \cup B \subseteq C$ हो।

यदि परवलयों $y^{2}=4x$ और $x^{2}=4y$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ को भी स्पर्श करती है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक वृत्त $S = 0$ दोनों वृत्तों $x^2 + y^2 = 400$ और $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 120 = 0$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है और $x$-अक्ष को भी स्पर्श करता है। वृत्त $S = 0$ की त्रिज्या है

$P$ केंद्र वाला एक वृत्त ऋणात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष को स्पर्श करता है और $(-6, 0)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाले एक वृत्त को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। $P$ केंद्र वाले वृत्त की सभी संभावित त्रिज्याओं का योग क्या है?