જો sqrt{a^{frac{1}{a}} cdot (2a)^{frac{1}{2a} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = \sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \fra

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = \sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \frac{8}{27}$ છે.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$P^2 = a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdots = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \frac{64}{729}$ મળે.$a$ અને $2$ ના ઘાતાંક તરીકે લખતા: $a^{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a} + \cdots \right)} \cdot 2^{\left(0 \cdot \frac{1}{a} + 1 \cdot \frac{1}{2a} + 2 \cdot \frac{1}{4a} + 3 \cdot \frac{1}{8a} + \cdots \right)} = \frac{64}{729}$.$a$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{a} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots) = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{1 - 1/2}\right) = \frac{2}{a}$ છે.$2$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2a} + \frac{2}{4a} + \frac{3}{8a} + \cdots = \frac{1}{a} (\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots)$ છે. આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે,જેનો સરવાળો $S = 2$ થાય છે. તેથી ઘાતાંક $\frac{2}{a}$ છે.આમ,$a^{\frac{2}{a}} \cdot 2^{\frac{2}{a}} = (2a)^{\frac{2}{a}} = \frac{64}{729} = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^6$ મળે.સરખામણી કરતા,$\frac{2}{a} = 6$ હોવાથી $a = \frac{1}{3}$ મળે છે.

જો $\sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \frac{8}{27}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $x, y, z$ એ $A.P.$ માં હોય અને $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ પણ બીજા $A.P.$ માં હોય,તો:

$1$ થી $100$ સુધીની એવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો જે $2$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય.

$\prod\limits_{n = 1}^{10} {\left( {\frac{{\left( {6\sum\limits_{i = 0}^n i } \right) + 1}}{{\left( {6\sum\limits_{j = 0}^n {(j - 1)} } \right) + 1}}} \right)} $ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં છે. જો $a < b < c$ અને $a + b + c = \frac{3}{2}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

$1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ શ્રેણીનો $20$ પદ સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module