यदि एक चर बिंदु $P(x, y)$ की रेखाओं $x + y - 5 = 0$ और $3x - 2y + 7 = 0$ से लंबवत दूरियों का योग हमेशा $10$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $P$ एक रेखा पर चलता है।

(N/A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x + y - 5 = 0$ $(1)$
$3x - 2y + 7 = 0$ $(2)$
बिंदु $P(x, y)$ से रेखाओं $(1)$ और $(2)$ की लंबवत दूरियाँ हैं:
$d_{1} = \frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}}$
$d_{2} = \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}}$
दिया गया है कि $d_{1} + d_{2} = 10$,इसलिए:
$\frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}} + \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}} = 10$
यह मानते हुए कि मापांक के अंदर के व्यंजक धनात्मक हैं:
$\sqrt{13}(x + y - 5) + \sqrt{2}(3x - 2y + 7) = 10\sqrt{26}$
पदों का विस्तार करने पर:
$(\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y - (5\sqrt{13} - 7\sqrt{2} + 10\sqrt{26}) = 0$
यह $Ax + By + C = 0$ के रूप का है,जो एक रेखा को दर्शाता है। अतः,$P$ एक रेखा पर चलता है।