यदि एक $G.P.$ के $p^{\text{th}}$,$q^{\text{th}}$ और $r^{\text{th}}$ पद क्रमशः $a$,$b$ और $c$ हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} = 1$.

मान लीजिए कि $G_1$ और $G_2$ क्रमशः दो श्रेणियों $x_1, x_2, \dots, x_n$ और $y_1, y_2, \dots, y_n$ के गुणोत्तर माध्य (geometric means) हैं। यदि $G$,श्रेणी $\frac{x_i}{y_i}$ (जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$) का गुणोत्तर माध्य है,तो $G$ किसके बराबर है?

$1$ और $64$ के बीच के दो गुणोत्तर माध्य ........ हैं।

एक कण मूल बिंदु से शुरू होता है और $1$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{1}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{2}$ इकाई लंबवत ऊपर की ओर चलता है और $P_{2}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{4}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{3}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{8}$ इकाई लंबवत नीचे की ओर चलता है और $P_{4}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{16}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{5}$ पर पहुँचता है और इसी तरह आगे बढ़ता है। मान लीजिए $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. तो, $(\alpha, \beta)$ है

$\frac{6}{3^{26}} + \frac{10 \cdot 1}{3^{25}} + \frac{10 \cdot 2}{3^{24}} + \frac{10 \cdot 2^2}{3^{23}} + \ldots + \frac{10 \cdot 2^{24}}{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x_1, x_2, x_3$ तथा $y_1, y_2, y_3$ समान सार्व अनुपात के साथ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,तो बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हैं