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Question

(C) दिया गया है कि $n$ वाँ पद $T_n = 2n - 1$ है।प्रथम $n$ पदों का योग $(S_n)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k$ का उपयोग कर सकते ह

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${n^2}$

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(C) दिया गया है कि $n$ वाँ पद $T_n = 2n - 1$ है।प्रथम $n$ पदों का योग $(S_n)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k$ का उपयोग कर सकते हैं।$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$$S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$$S_n = n(n + 1) - n$$S_n = n^2 + n - n = n^2$.वैकल्पिक रूप से,अनुक्रम $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ है,जो प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है,जो कि $n^2$ होता है।

यदि एक $A.P.$ का $n$ वाँ पद $(2n - 1)$ है,तो इसके प्रथम $n$ पदों का योग क्या होगा?

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यदि एक $G.P.$ के $p$ वें,$q$ वें और $r$ वें पद क्रमशः $a, b$ और $c$ हैं,तो $a^{q - r} b^{r - p} c^{p - q}$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $a, b, c \in R$ है। यदि $f(x) = ax^2 + bx + c$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 3$ और $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ सभी $x, y \in R$ के लिए,तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

श्रेणी $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + ...$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

एक $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) का सार्व अनुपात $-\frac{4}{5}$ है और अनंत पदों का योग $\frac{80}{9}$ है। प्रथम पद ज्ञात कीजिए।

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