श्रेणी 1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2r - 1)^2$ है।प्रथम $r$ विषम संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$t_r = \sum

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}n(n + 1)(2n^2 + 2n - 1)$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2r - 1)^2$ है।प्रथम $r$ विषम संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.$t_r = 4 \sum_{k=1}^r k^2 - 4 \sum_{k=1}^r k + \sum_{k=1}^r 1 = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.$t_r = \frac{2r(r+1)(2r+1)}{3} - 2r(r+1) + r = \frac{r}{3} [2(2r^2 + 3r + 1) - 6(r+1) + 3] = \frac{r}{3} [4r^2 + 6r + 2 - 6r - 6 + 3] = \frac{r(4r^2 - 1)}{3} = \frac{4r^3 - r}{3}$.अब,$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.$S_n = \frac{4}{3} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{3} - \frac{n(n+1)}{6}$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$.

श्रेणी $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + ...$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

$a$ और $b$ के बीच $n$ समांतर माध्यों का योग क्या है?

यदि $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n}$,$a$ और $b$ का समांतर माध्य $(A.M.)$ है,तो $n = $

श्रेणी $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ का $n^{th}$ पद क्या होगा?

निम्नलिखित में से कौन सा अनुक्रम एक समांतर अनुक्रम (Arithmetic Sequence) है?

श्रेणी $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots$ के $n$ पदों का योग है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module