શ્રેણી 1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2r - 1)^2$ છે.પ્રથમ $r$ એકી સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t_r = \sum_{k=1}^r

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}n(n + 1)(2n^2 + 2n - 1)$

Vedclass · Answer

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2r - 1)^2$ છે.પ્રથમ $r$ એકી સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.$t_r = 4 \sum_{k=1}^r k^2 - 4 \sum_{k=1}^r k + \sum_{k=1}^r 1 = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.$t_r = \frac{2r(r+1)(2r+1)}{3} - 2r(r+1) + r = \frac{r}{3} [2(2r^2 + 3r + 1) - 6(r+1) + 3] = \frac{r}{3} [4r^2 + 6r + 2 - 6r - 6 + 3] = \frac{r(4r^2 - 1)}{3} = \frac{4r^3 - r}{3}$.હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.$S_n = \frac{4}{3} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{3} - \frac{n(n+1)}{6}$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$.

શ્રેણી $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + ...$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

જો $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n}$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક (harmonic mean) હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

$3.6 + 4.7 + 5.8 + \dots$ શ્રેણીનો $(n - 2)$ પદો સુધીનો સરવાળો શોધો.

જો $x_n = \frac{2n^2 + n + 1}{2n^2 - 3n + 2}$ હોય,તો $\sum_{r=1}^n \left[ \left( \prod_{i=1}^r x_i \right) - 2\sum_{i=1}^r (2i - 1) \right]$ ની કિંમત શોધો.

જો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો હાર્મોનિક મધ્યક (harmonic mean) $H$ હોય,તો $\frac{H + a}{H - a} + \frac{H + b}{H - b} = $

$1 + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 2} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3}{1 + 2 + 3 + \dots + 15} - \frac{1}{2}(1 + 2 + 3 + \dots + 15)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module