यदि वृत्त S=0,वृत्तों x^2+y^2-2x+6y=0,x^2+y^2 | vedclass

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Question

(B) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग

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$y=3$

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(B) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
$S_1: x^2+y^2-2x+6y=0$ के लिए,$g_1=-1, f_1=3, c_1=0$. अतः,$2g(-1) + 2f(3) = c + 0 \Rightarrow -2g + 6f = c$ $(i)$.
$S_2: x^2+y^2-4x-2y+6=0$ के लिए,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=6$. अतः,$2g(-2) + 2f(-1) = c + 6 \Rightarrow -4g - 2f = c + 6$ $(ii)$.
$S_3: x^2+y^2-12x+2y+3=0$ के लिए,$g_3=-6, f_3=1, c_3=3$. अतः,$2g(-6) + 2f(1) = c + 3 \Rightarrow -12g + 2f = c + 3$ $(iii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $2g + 8f = -6 \Rightarrow g + 4f = -3$ $(iv)$.
$(ii)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $8g - 4f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $9g = 0 \Rightarrow g = 0$. अतः $4f = -3 \Rightarrow f = -3/4$.
$(i)$ में मान रखने पर: $c = -2(0) + 6(-3/4) = -18/4 = -9/2$.
अतः वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2 - \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0$ है।
बिंदु $(0,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ है।
$(0,3)$ रखने पर: $x(0) + y(3) + 0(x+0) - \frac{3}{4}(y+3) - \frac{9}{2} = 0$.
$3y - \frac{3}{4}y - \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = 0 \Rightarrow \frac{9}{4}y - \frac{27}{4} = 0 \Rightarrow 9y = 27 \Rightarrow y = 3$.

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वृत्तों $x^2 + y^2 + 2x + 8y - 23 = 0$ और $x^2 + y^2 - 4x - 10y + 9 = 0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि वृत्त $(x+1)^2+(y+2)^2=r^2$ और $x^2+y^2-4x-4y+4=0$ दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो

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