જો સમીકરણ $2 \operatorname{Cot}^{-1}(x^2+2x+k) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(x^2+2x+k)$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોય,તો $k$ ની તમામ કિંમતો કયા અંતરાલમાં આવે છે?

જો $\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17}+\cos ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{77}{36}=0$ અને $0 < \alpha < 13$ હોય,તો $\sin ^{-1}(\sin \alpha)+\cos ^{-1}(\cos \alpha)$ ની કિંમત $.........$ થાય.

જો સમીકરણ $\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2}{x}-1}$ નું સમાધાન કરતું $x$ નું મૂલ્ય $\frac{a}{b}$ હોય (જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે),તો $a^2 + b^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

સમીકરણ $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ ના

જો $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$ હોય, તો $x \in$

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ જો $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\cos \left(\tan ^{-1} x\right)\right)\right)$ હોય, તો $f(0) = \frac{1}{2}$.
$(II)$ $\sin \left(4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} - \tan ^{-1} \frac{1}{239}\right) = 1$.
તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?