જો સમીકરણ $x^8 - kx^2 + 3 = 0$ નો વાસ્તવિક ઉકેલ હોય,તો $k$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત શું છે?

ધારો કે $a, b, c, d \in R^+$ એવા છે કે જેથી $256abcd \geq (a+b+c+d)^4$ અને $3a + b + 2c + 5d = 11$ થાય. તો $a^3 + b + c^2 + 5d$ ની કિંમત શોધો:

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ ના બીજ હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,તો $\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ ની કિંમત શોધો.

દ્વિઘાત સમીકરણ $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો ચોક્કસપણે સાચા છે?
$I$. કોઈપણ $n$ માટે,બીજ ભિન્ન છે.
$II$. $n$ ની એવી અનંત કિંમતો છે જેના માટે બંને બીજ વાસ્તવિક છે.
$III$. બીજનો ગુણાકાર હંમેશા પૂર્ણાંક હોય છે.

$x \ge 1$ માટે $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ હોય,તો $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ ની કિંમત શોધો.