यदि फलन f(x)=x^3+e^{frac{x}{2}} और g(x)=f^{-1 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + e^{\frac{x}{2}}$.सबसे पहले,$x$ का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए $f(x) = 1$ हो।$x^3 + e^{\frac{x}{2}} = 1$.निरीक्षण करने पर

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$2$

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(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + e^{\frac{x}{2}}$.सबसे पहले,$x$ का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए $f(x) = 1$ हो।$x^3 + e^{\frac{x}{2}} = 1$.निरीक्षण करने पर,यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = 0^3 + e^0 = 0 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$f(0) = 1$,जिसका अर्थ है कि $g(1) = 0$.हम जानते हैं कि $g(f(x)) = x$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$.$g^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:$g^{\prime}(f(0)) \cdot f^{\prime}(0) = 1 \Rightarrow g^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(0) = 1$.अब,$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:$f^{\prime}(x) = 3x^2 + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$.$f^{\prime}(0) = 3(0)^2 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.इसलिए,$g^{\prime}(1) = \frac{1}{f^{\prime}(0)} = \frac{1}{1/2} = 2$.

यदि फलन $f(x)=x^3+e^{\frac{x}{2}}$ और $g(x)=f^{-1}(x)$ है,तो $g^{\prime}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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