यदि फलन f(x) = begin{cases} x + a^2sqrt{2} si | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ के $x = \pi/4$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \pi/4^-} f(x) = \lim_{x 	o \pi/4^+} f(x) = f(\pi/4)$ होना चाहिए।$\lim_{x 	o \pi/4^-} (x +

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$b$ या $c$ दोनों

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(D) $f(x)$ के $x = \pi/4$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \pi/4^-} f(x) = \lim_{x 	o \pi/4^+} f(x) = f(\pi/4)$ होना चाहिए।$\lim_{x 	o \pi/4^-} (x + a^2\sqrt{2} \sin x) = \pi/4 + a^2\sqrt{2} \sin(\pi/4) = \pi/4 + a^2\sqrt{2}(1/\sqrt{2}) = \pi/4 + a^2$.$\lim_{x 	o \pi/4^+} (x \cot x + b) = \pi/4 \cot(\pi/4) + b = \pi/4(1) + b = \pi/4 + b$.इन्हें बराबर करने पर,$\pi/4 + a^2 = \pi/4 + b \implies b = a^2$.$f(x)$ के $x = \pi/2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \pi/2^-} f(x) = \lim_{x 	o \pi/2^+} f(x) = f(\pi/2)$ होना चाहिए।$\lim_{x 	o \pi/2^-} (x \cot x + b) = \lim_{x 	o \pi/2^-} (x \frac{\cos x}{\sin x} + b) = 0 + b = b$.$\lim_{x 	o \pi/2^+} (b \sin 2x - a \cos 2x) = b \sin(\pi) - a \cos(\pi) = b(0) - a(-1) = a$.इन्हें बराबर करने पर,$b = a$.चूंकि $b = a^2$ और $b = a$,इसलिए $a^2 = a \implies a^2 - a = 0 \implies a(a - 1) = 0$.अतः,$a = 0$ या $a = 1$.यदि $a = 0$ है,तो $b = 0$. यदि $a = 1$ है,तो $b = 1$.इसलिए,$(a, b)$ के संभावित मान $(0, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।

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फलन $f(x) = [\frac{x^2}{2}] - [\sqrt{x}]$ के लिए $x \in [0, 4]$ अंतराल में असंतत बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -2 \sin x & -\pi \leq x < -\pi/2 \\ a \sin x + b & -\pi/2 \leq x \leq \pi/2 \\ \cos x & \pi/2 < x \leq \pi \end{cases}$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ में सतत है,तो $(3a + 2b)^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=5x-3$,$x=0$,$x=-3$ और $x=5$ पर संतत है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{a \sin x - b x + c x^2 + x^3}{2 \log(1+x) - 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3} &, x \neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a, b, c$ के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

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