यदि रेखा y=x परवलय y=ax^{2}+bx+c की बिंदु (1, | vedclass

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Question

(C) परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि बिंदु $(1,1)$ परवलय पर स्थित है, इसलिए $1 = a(1)^2 + b(1) + c$, जिससे $a + b + c = 1$ ...$(1)$ प्राप

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$a=c=\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$

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(C) परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि बिंदु $(1,1)$ परवलय पर स्थित है, इसलिए $1 = a(1)^2 + b(1) + c$, जिससे $a + b + c = 1$ ...$(1)$ प्राप्त होता है। चूंकि बिंदु $(-1,0)$ परवलय पर स्थित है, इसलिए $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$, जिससे $a - b + c = 0$ ...$(2)$ प्राप्त होता है। $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर, $2b = 1$, अतः $b = \frac{1}{2}$। $b = \frac{1}{2}$ को $(1)$ में रखने पर, $a + c = \frac{1}{2}$ ...$(3)$ प्राप्त होता है। किसी बिंदु $(x,y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ है। बिंदु $(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $2a(1) + b = 2a + b$ है। रेखा $y=x$ की ढाल $1$ है, इसलिए $2a + b = 1$। $b = \frac{1}{2}$ रखने पर, $2a + \frac{1}{2} = 1$, जिससे $2a = \frac{1}{2}$, अर्थात $a = \frac{1}{4}$। $(3)$ से, $c = \frac{1}{2} - a = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$। अतः, $a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{4}$।

यदि रेखा $y=x$ परवलय $y=ax^{2}+bx+c$ की बिंदु $(1,1)$ पर स्पर्श रेखा है और वक्र $(-1,0)$ से होकर गुजरता है, तो

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