જો રેખા $x - 2y = 12$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને બિંદુ $(3, -4.5)$ આગળ સ્પર્શતી હોય,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ઉપવલય $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{y^2}{9}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જો ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ પર તેના ચાર શિરોબિંદુઓ સિવાયના તમામ બિંદુઓ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો યામ અક્ષો વચ્ચે આંતરાયેલા સ્પર્શકોના મધ્યબિંદુઓ કયા વક્ર પર આવેલા છે?

જો $a$ અને $c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને ઉપવલય $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ ને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9a^2$ સાથે ચાર ભિન્ન સામાન્ય બિંદુઓ હોય,તો

ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $C: x^2 + y^2 = 4$ પર આવેલું છે અને બિંદુ $(2h + 1, 3k + 2)$ એ $e$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતા ઉપવલય પર આવેલું છે. તો $\frac{5}{e^2}$ ની કિંમત . . . . . . . જેટલી થાય.