यदि f(x)=2x^2+alpha x+8 का न्यूनतम मान और g(x | vedclass

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Question

(B) द्विघात फलन $f(x)=ax^2+bx+c$ (जहाँ $a>0$) का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
$f(x)=2x^2+\alpha x+8$ के ल

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{160}{27}$

Vedclass · Answer

(B) द्विघात फलन $f(x)=ax^2+bx+c$ (जहाँ $a>0$) का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
$f(x)=2x^2+\alpha x+8$ के लिए, हमारे पास $a=2, b=\alpha, c=8$ है। न्यूनतम मान $\frac{4(2)(8)-\alpha^2}{4(2)} = \frac{64-\alpha^2}{8}$ है।
द्विघात फलन $g(x)=ax^2+bx+c$ (जहाँ $a < 0$) का अधिकतम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
$g(x)=-3x^2-4x+\alpha^2$ के लिए, हमारे पास $a=-3, b=-4, c=\alpha^2$ है। अधिकतम मान $\frac{4(-3)(\alpha^2)-(-4)^2}{4(-3)} = \frac{-12\alpha^2-16}{-12} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$ है।
दोनों मानों को बराबर करने पर:
$\frac{64-\alpha^2}{8} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$
दोनों पक्षों को $24$ से गुणा करने पर:
$3(64-\alpha^2) = 2(12\alpha^2+16)$
$192-3\alpha^2 = 24\alpha^2+32$
$160 = 27\alpha^2$
$\alpha^2 = \frac{160}{27}$.
अतः, विकल्प $(B)$ सही है।

यदि $f(x)=2x^2+\alpha x+8$ का न्यूनतम मान और $g(x)=-3x^2-4x+\alpha^2$ का अधिकतम मान समान है, तो $\alpha^2=$

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