જો બે ભિન્ન શંકુઓ $x^2+y^2=4b$ અને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના છેદબિંદુઓ વક્ર $y^2=3x^2$ પર આવેલા હોય,તો છેદબિંદુઓ દ્વારા બનતા લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના $3\sqrt{3}$ ગણા કેટલા થાય............................

જો $e$ અને $e^{\prime}$ એ ઉપવલય $5x^2 + 9y^2 = 45$ અને અતિવલય $5x^2 - 4y^2 = 45$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $ee^{\prime}$ ની કિંમત શોધો.

જો $PQ$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની બેવડી કોટિ (double ordinate) હોય,જેથી $\triangle OPQ$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ બને,જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે,તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

આકૃતિમાં, વિધાન $I$: જ્યારે $\alpha > \beta \ge 0$ હોય, ત્યારે છેદ એક અતિવલય (hyperbola) છે. વિધાન $II$: જ્યારે $\beta > 90^\circ$ હોય, ત્યારે છેદ એક ઉપવલય (ellipse) છે.

એક ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે અને એક નાભિ બિંદુ $P\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ પર છે. તેની એક નિયામિકા એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ અને અતિવલય $x^2 - y^2 = 1$ નો બિંદુ $P$ ની નજીકનો સામાન્ય સ્પર્શક છે. ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ શોધો:

$\lambda$ ના એવા મૂલ્યો,જેના માટે બિંદુ $(\lambda, \lambda-2)$ એ ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ની અંદર અને પરવલય $y^2=x$ ની બહાર આવેલું હોય,તે નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?