જો વિકલ સમીકરણ sin x frac{dy}{dx} + y cos x = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ છે.$\sin x$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ મળે છે

Vedclass · Accepted Answer

$e^{\pi/3} - e^\pi$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ છે.$\sin x$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(x) = \cot x$ અને $Q(x) = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ છે.સમીકરણને $I$.$F$. વડે ગુણતા, $\frac{d}{dx}(y \sin x) = e^{2x}$ મળે છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા, $y \sin x = \int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$ મળે છે.તેથી, $y = \frac{e^{2x}}{2 \sin x} + \frac{C}{\sin x}$.શરત $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = \frac{e^\pi}{2(1)} + \frac{C}{1}$, જે આપણને $C = -\frac{e^\pi}{2}$ આપે છે.$C$ ની કિંમત મૂકતા, $y = \frac{e^{2x} - e^\pi}{2 \sin x}$ મળે છે.હવે, $x = \frac{\pi}{6}$ માટે, $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ છે.તેથી, $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{e^{\pi/3} - e^\pi}{2(1/2)} = e^{\pi/3} - e^\pi$.

જો વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}, x \in (0, \pi)$ નો ઉકેલ $y(x)$ એ $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય, તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = $

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module