यदि परवलय y^2=4x पर स्थित बिंदु A(4,4) से खीं | vedclass

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Question

(A) माना जीवा का रेखा $y=ax$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $M(\alpha, a\alpha)$ है। चूँकि $M$ जीवा का मध्य बिंदु है,जिसका एक सिरा $A(4,4)$ और दूसरा सिरा $Q

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$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) माना जीवा का रेखा $y=ax$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $M(\alpha, a\alpha)$ है। चूँकि $M$ जीवा का मध्य बिंदु है,जिसका एक सिरा $A(4,4)$ और दूसरा सिरा $Q(x_1, y_1)$ है:$\alpha = \frac{4+x_1}{2} \Rightarrow x_1 = 2\alpha - 4$$a\alpha = \frac{4+y_1}{2} \Rightarrow y_1 = 2a\alpha - 4$चूँकि $Q(x_1, y_1)$ परवलय $y^2=4x$ पर स्थित है:$(2a\alpha - 4)^2 = 4(2\alpha - 4)$$4a^2\alpha^2 - 16a\alpha + 16 = 8\alpha - 16$$4a^2\alpha^2 - (16a+8)\alpha + 32 = 0$दो भिन्न जीवाओं के लिए,द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए,इसलिए विविक्तकर $D > 0$:$D = (16a+8)^2 - 4(4a^2)(32) > 0$$64(2a+1)^2 - 512a^2 > 0$$64(4a^2 + 4a + 1) - 512a^2 > 0$$-256a^2 + 256a + 64 > 0$$4a^2 - 4a - 1 $4a^2 - 4a - 1 = 0$ को हल करने पर $a = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,अंतराल $\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$ है,जो $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

$A. \ 2x-5=0$	$I. \ \text{शीर्ष (Vertex)}$
$B. \ (\frac{3}{2}, -1)$	$II. \ \text{नाभि (Focus)}$
$C. \ y+1=0$	$III. \ \text{नियता का समीकरण (Equation of directrix)}$
$D. \ (2, -1)$	$IV. \ \text{अक्ष का समीकरण (Equation of the axis)}$
	$V. \ \text{नाभिलंब का समीकरण (Equation of the Latus rectum)}$

यदि परवलय $y^2=4x$ पर स्थित बिंदु $A(4,4)$ से खींची गई दो भिन्न जीवाएं रेखा $y=ax$ द्वारा समद्विभाजित होती हैं,तो $a$ का अंतराल है

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