$\Delta ABC$ में,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। $G$ (केंद्रक) से होकर गुजरने वाली एक रेखा $\overline{AB}$ को $M$ पर और $\overline{AC}$ को $N$ पर काटती है। यदि $3 AN = 2 AC$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $AM = 2 MB$ है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
केंद्रक $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $3 AN = 2 AC$,इसलिए $\frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है कि $N$,$AC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$N$ के निर्देशांक $(\frac{2x_3+x_1}{3}, \frac{2y_3+y_1}{3})$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि रेखा $MN$,$G$ से होकर गुजरती है,इसलिए बिंदु $M, G, N$ संरेख हैं।
केंद्रक के गुण और रेखाखंडों के अनुपात का उपयोग करके,$\Delta ABC$ में तिर्यक रेखा $MGN$ के लिए मेनेलॉस प्रमेय या सदिश ज्यामिति को लागू करने पर,हम $AM:MB$ का अनुपात प्राप्त करते हैं।
शर्त $3 AN = 2 AC$ के अनुसार,$N$ ऐसा बिंदु है कि $AN = \frac{2}{3} AC$ है।
केंद्रक से गुजरने वाली तिर्यक रेखाओं के गुण का उपयोग करने पर,हमें $\frac{AM}{MB} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $AM = 2 MB$।