$\Delta ABC$ માં,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. $G$ (મધ્યકેન્દ્ર) માંથી પસાર થતી એક રેખા $\overline{AB}$ ને $M$ માં અને $\overline{AC}$ ને $N$ માં છેદે છે. જો $3 AN = 2 AC$ હોય,તો સાબિત કરો કે $AM = 2 MB$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $3 AN = 2 AC$,તેથી $\frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $N$ એ $AC$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$N$ ના યામ $(\frac{2x_3+x_1}{3}, \frac{2y_3+y_1}{3})$ મળે છે.
રેખા $MN$ એ $G$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,બિંદુઓ $M, G, N$ સમરેખ છે.
મધ્યકેન્દ્રના ગુણધર્મ અને રેખાખંડોના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને,$\Delta ABC$ માં છેદિકા $MGN$ માટે મેનેલાઉસના પ્રમેય અથવા સદિશ ભૂમિતિ દ્વારા,આપણે $AM:MB$ નો ગુણોત્તર મેળવી શકીએ છીએ.
શરત $3 AN = 2 AC$ મુજબ,$N$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $AN = \frac{2}{3} AC$ થાય.
મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી છેદિકાઓના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{AM}{MB} = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $AM = 2 MB$.