एक समकोण त्रिभुज में,सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिंदु को सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखंड कर्ण की लंबाई का आधा होता है।

(N/A) $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है और $D$ कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु है। हमें सिद्ध करना है कि $BD = \frac{1}{2} AC$ है।
रचना: $BD$ को $E$ तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $BD = DE$ हो। $EC$ को मिलाइए।
$\Delta ADB$ और $\Delta CDE$ में:
$AD = CD$ ($D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$\angle ADB = \angle CDE$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$BD = DE$ (रचना से)
अतः,$\Delta ADB \cong \Delta CDE$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से)।
इस प्रकार,$AB = EC$ $(CPCT)$ और $\angle 1 = \angle 2$ $(CPCT)$।
चूंकि $\angle 1$ और $\angle 2$ एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए $EC \parallel BA$ है।
अब,$EC \parallel BA$ और $BC$ तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle ABC + \angle BCE = 180^{\circ}$।
चूंकि $\angle ABC = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle BCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\Delta ABC$ और $\Delta ECB$ में:
$BC = CB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$AB = EC$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$\angle ABC = \angle ECB = 90^{\circ}$
अतः,$\Delta ABC \cong \Delta ECB$ ($SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से)।
इस प्रकार,$AC = EB$ $(CPCT)$।
चूंकि $BD = DE$ है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BE$ होगा।
$BE = AC$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BD = \frac{1}{2} AC$ प्राप्त होता है।