एक दीर्घवृत्त में,एक नाभि से उसके संगत दीर्घ | vedclass

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Question

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S_1(ae, 0)$ और $S_2(-ae, 0)$ हैं। दीर्घ अक्ष के सिरे $A(a, 0)$ और $A'(-a, 0)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{8}$

Vedclass · Answer

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S_1(ae, 0)$ और $S_2(-ae, 0)$ हैं। दीर्घ अक्ष के सिरे $A(a, 0)$ और $A'(-a, 0)$ हैं। लघु अक्ष के सिरे $B(0, b)$ और $B'(0, -b)$ हैं।नाभि $S_1$ से दीर्घ अक्ष के सिरे $A$ तक की दूरी $a - ae = 4 - \sqrt{7}$ है।नाभि $S_1$ से लघु अक्ष के सिरे $B$ तक की दूरी $\sqrt{(ae)^2 + b^2} = 4$ है। चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $\sqrt{(ae)^2 + a^2 - a^2e^2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 4$।$a = 4$ को $a(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ में रखने पर,$4(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ प्राप्त होता है,इसलिए $1 - e = 1 - \frac{\sqrt{7}}{4}$,जिससे $e = \frac{\sqrt{7}}{4}$ मिलता है।तब $b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{7}{16}) = 16(\frac{9}{16}) = 9$,इसलिए $b = 3$।दूरी $S_1S_2 = 2ae = 2(4)(\frac{\sqrt{7}}{4}) = 2\sqrt{7}$ है।$	riangle BS_1S_2$ में,$BS_1 = BS_2 = 4$ और $S_1S_2 = 2\sqrt{7}$ है।कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos 	heta = \frac{BS_1^2 + BS_2^2 - S_1S_2^2}{2(BS_1)(BS_2)} = \frac{4^2 + 4^2 - (2\sqrt{7})^2}{2(4)(4)} = \frac{16 + 16 - 28}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

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