फलन $\frac{1}{1-\tan x}$ का समाकलन कीजिए।
माना $I = \int \frac{1}{1-\tan x} dx$.
$= \int \frac{1}{1-\frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \frac{\cos x}{\cos x-\sin x} dx$.
अंश और हर को $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x}{\cos x-\sin x} dx$.
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x-\sin x)+(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x} dx$.
$= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} dx$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} dx$.
माना $t = \cos x - \sin x$,तब $dt = -(\sin x + \cos x) dx$,अर्थात $(\cos x + \sin x) dx = -dt$.
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$.
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$= \int \frac{1}{1-\frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \frac{\cos x}{\cos x-\sin x} dx$.
अंश और हर को $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \cos x}{\cos x-\sin x} dx$.
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x-\sin x)+(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x} dx$.
$= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} dx$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x} dx$.
माना $t = \cos x - \sin x$,तब $dt = -(\sin x + \cos x) dx$,अर्थात $(\cos x + \sin x) dx = -dt$.
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$.
$= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
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$\int \frac{\sqrt{\cos 2 x}}{\sin x} d x=$
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