मान लीजिए f : R to R को f(x) = frac{|x| - 1}{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.एकैकी फलन के लिए,यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $x_1 = x_2$ होना चाहिए।मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$:$\fra

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न तो एकैकी और न ही आच्छादक

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.एकैकी फलन के लिए,यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $x_1 = x_2$ होना चाहिए।मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$:$\frac{|x_1| - 1}{|x_1| + 1} = \frac{|x_2| - 1}{|x_2| + 1}$$(|x_1| - 1)(|x_2| + 1) = (|x_2| - 1)(|x_1| + 1)$$|x_1||x_2| + |x_1| - |x_2| - 1 = |x_1||x_2| - |x_1| + |x_2| - 1$$2|x_1| = 2|x_2| \implies |x_1| = |x_2|$इसका अर्थ है $x_1 = x_2$ या $x_1 = -x_2$। चूंकि $f(1) = f(-1) = 0$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।आच्छादक के लिए: मान लीजिए $y = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$.$y(|x| + 1) = |x| - 1 \implies y|x| + y = |x| - 1 \implies |x|(y - 1) = -1 - y \implies |x| = \frac{1 + y}{1 - y}$.चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $\frac{1 + y}{1 - y} \ge 0$ होना चाहिए। इस असमिका को हल करने पर,हमें $y \in [-1, 1)$ प्राप्त होता है।$f$ का परिसर $[-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है। इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है।

मान लीजिए $f : R \to R$ को $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| + 1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f$ है

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फलन $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ जो $f(x) = x^2 + x$ द्वारा परिभाषित है,वह है:

फलन $f: Z \rightarrow Z$ के लिए $f(x) = x^{2}$ द्वारा परिभाषित फलन की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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