मान लीजिए कि f : R to R को f(x) = frac{x}{1 + | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ है।समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(x^2 + 1) = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $yx^2 - x + y = 0$ है।चू

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$[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$

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(A) मान लीजिए $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ है।समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(x^2 + 1) = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $yx^2 - x + y = 0$ है।चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D$,$0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।$D = (-1)^2 - 4(y)(y) \ge 0$ है।$1 - 4y^2 \ge 0$ है।$4y^2 \le 1$,जिसका अर्थ है $y^2 \le \frac{1}{4}$ है।वर्गमूल लेने पर,हमें $|y| \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y \in [ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$ है।अतः,$f$ का परिसर $[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$ है।

मान लीजिए कि $f : R \to R$ को $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}, x \in R$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $f$ का परिसर (range) क्या है?

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